ERRADO.
Resolução Completa
1. Dados do problema
| Variável |
Valor |
| U = x_1 \cdot x_2 |
Função utilidade Cobb-Douglas |
| p_1 = 10 |
Preço do bem 1 |
| p_2 = 4 |
Preço do bem 2 |
| r = 80 |
Renda do consumidor |
2. Encontrando a cesta ótima
A função U = x_1 \cdot x_2 é uma Cobb-Douglas da forma U = x_1^a \cdot x_2^b, com a = 1 e b = 1.
Condição de ótimo (tangência):
TMS = \frac{UMg_{x_1}}{UMg_{x_2}} = \frac{p_1}{p_2}
Calculando as utilidades marginais:
UMg_{x_1} = \frac{\partial U}{\partial x_1} = x_2, \qquad UMg_{x_2} = \frac{\partial U}{\partial x_2} = x_1
Logo:
\frac{x_2}{x_1} = \frac{10}{4} \implies x_2 = \frac{10}{4} x_1 = 2{,}5\, x_1
Restrição orçamentária:
10x_1 + 4x_2 = 80
Substituindo x_2 = 2{,}5\, x_1:
10x_1 + 4(2{,}5\, x_1) = 80 \implies 10x_1 + 10x_1 = 80 \implies 20x_1 = 80
\boxed{x_1^* = 4} \qquad \boxed{x_2^* = 10}
3. Calculando os gastos em cada bem
\text{Gasto com bem 1} = p_1 \cdot x_1^* = 10 \times 4 = \mathbf{40}
\text{Gasto com bem 2} = p_2 \cdot x_2^* = 4 \times 10 = \mathbf{40}
Os gastos são iguais: R$ 40 em cada bem.
4. Por que a afirmativa está errada?
A afirmativa comete dois erros:
Erro 1 — Fato: os gastos são iguais, não diferentes
Conforme demonstrado, o consumidor gasta exatamente metade da renda em cada bem (40 + 40 = 80).
Erro 2 — Justificativa: a lógica econômica está invertida
A ideia de que “o consumidor maximiza utilidade concentrando renda no bem de maior preço” não possui qualquer fundamento na teoria microeconômica. Na verdade, o consumidor maximiza utilidade igualando a utilidade marginal por unidade monetária gasta em cada bem:
\frac{UMg_{x_1}}{p_1} = \frac{UMg_{x_2}}{p_2}
Isso é a chamada Lei da Igualdade das Utilidades Marginais Ponderadas (ou Segunda Lei de Gossen).
5. Propriedade geral da Cobb-Douglas
Este resultado decorre de uma propriedade clássica amplamente discutida nos manuais de referência (Varian, Microeconomia: Uma Abordagem Moderna; Mas-Colell, Whinston & Green, Microeconomic Theory):
Para U = x_1^a \cdot x_2^b, as parcelas de gasto ótimas são:
p_1 x_1^* = \frac{a}{a+b} \cdot r \qquad \text{e} \qquad p_2 x_2^* = \frac{b}{a+b} \cdot r
Como neste caso a = b = 1, cada bem recebe exatamente \frac{1}{2} da renda, independentemente dos preços. O preço mais alto do bem 1 faz o consumidor comprar menos unidades dele, mas gastar o mesmo valor monetário.
Conclusão
A afirmativa é ERRADA. No ponto ótimo, o gasto com o bem 1 é igual ao gasto com o bem 2 (ambos R$ 40), e a justificativa apresentada contradiz os princípios fundamentais da teoria do consumidor.
Comentário automático feito pela inteligência artificial do Clipping.ai apenas para referência. Comentários dos nossos professores virão a seguir.