ERRADO.
Análise Completa
1. Situação Original
Dados: U = x_1 \cdot x_2, p_1 = 10, p_2 = 4, r = 80.
Para uma função Cobb-Douglas do tipo U = x_1^a \cdot x_2^b, as demandas ótimas (marshallianas) são bem conhecidas:
x_1^* = \frac{a}{a+b} \cdot \frac{r}{p_1}, \qquad x_2^* = \frac{b}{a+b} \cdot \frac{r}{p_2}
Como a = b = 1:
x_1^* = \frac{1}{2} \cdot \frac{80}{10} = 4
x_2^* = \frac{1}{2} \cdot \frac{80}{4} = 10
Cesta ótima original: (4;\, 10), com utilidade U = 40.
2. Situação Após a Duplicação dos Preços (renda constante)
Novos dados: p_1' = 20, p_2' = 8, r = 80.
x_1^* = \frac{1}{2} \cdot \frac{80}{20} = 2
x_2^* = \frac{1}{2} \cdot \frac{80}{8} = 5
Nova cesta ótima: (2;\, 5), com utilidade U = 10.
A cesta ótima mudou de (4, 10) para (2, 5).
3. Por que a afirmação está errada?
A afirmação comete um erro crucial ao dizer que “o vetor de demanda ótima permanecerá o mesmo”. Vamos entender por quê:
(a) A reta orçamentária de fato se desloca paralelamente
A inclinação da restrição orçamentária é dada por -\frac{p_1}{p_2}:
-\frac{p_1}{p_2} = -\frac{10}{4} = -2{,}5 \qquad \text{e} \qquad -\frac{p_1'}{p_2'} = -\frac{20}{8} = -2{,}5
A inclinação não muda, então o deslocamento é paralelo — isso está correto na afirmação.
(b) Mas o deslocamento é para dentro (contração do conjunto orçamentário)
Os interceptos mudam:
- Intercepto no eixo x_1: \frac{r}{p_1} vai de 8 para 4.
- Intercepto no eixo x_2: \frac{r}{p_2} vai de 20 para 10.
A reta se desloca paralelamente para a origem, reduzindo o poder de compra do consumidor pela metade. Logo, a solução de maximização necessariamente muda.
(c) O princípio teórico por trás: Homogeneidade de grau zero
As funções de demanda marshallianas são homogêneas de grau zero em (p_1, p_2, r) conjuntamente. Isso significa que:
x_i^*(t \cdot p_1,\; t \cdot p_2,\; t \cdot r) = x_i^*(p_1, p_2, r) \quad \forall\, t > 0
Ou seja, a cesta ótima só permaneceria a mesma se preços e renda fossem multiplicados pelo mesmo fator. No caso da questão, a renda foi mantida constante (r = 80) enquanto os preços dobraram. Portanto, não há a multiplicação proporcional de todas as variáveis nominais, e a demanda ótima se altera.
4. Resumo Didático
| Cenário |
p_1 |
p_2 |
r |
x_1^* |
x_2^* |
U |
| Original |
10 |
4 |
80 |
4 |
10 |
40 |
| Preços ×2, renda fixa |
20 |
8 |
80 |
2 |
5 |
10 |
| Preços ×2, renda ×2 |
20 |
8 |
160 |
4 |
10 |
40 |
A cesta só se mantém no terceiro cenário (onde a renda também dobra), confirmando a propriedade de homogeneidade de grau zero.
Referências Doutrinárias
- Varian, H. R. (Microeconomia: Uma Abordagem Moderna): apresenta a homogeneidade de grau zero das demandas marshallianas e a análise gráfica do deslocamento paralelo da reta orçamentária.
- Mas-Colell, Whinston & Green (Microeconomic Theory): formalizam que x(tp, tr) = x(p, r), ou seja, apenas a variação proporcional simultânea de preços e renda preserva a demanda ótima.
Conclusão: A afirmação é ERRADA porque, embora a reta orçamentária de fato se desloque paralelamente, ela se desloca para dentro, reduzindo o poder aquisitivo real. A cesta ótima muda de (4, 10) para (2, 5). Para que a demanda permanecesse inalterada, seria necessário que a renda também fosse duplicada.
Comentário automático feito pela inteligência artificial do Clipping.ai apenas para referência. Comentários dos nossos professores virão a seguir.