Questão 44 item 195 - (Economia - 1a Fase - CACD 2026). Se a renda do consumidor dobrar para $r = 160$, ma

Questões de prova
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Enunciado:

Considere um consumidor com função utilidade U = x_1 x_2, em que x_1 e x_2 representam, respectivamente, as quantidades consumidas dos bens 1 e 2. Considere, ainda, que o preço do bem 1 seja p_1 = 10, o preço do bem 2 seja p_2 = 4, o rendimento do consumidor seja r = 80 e que o consumidor seja racional, prefira mais a menos (monotonicidade) e gaste toda a sua renda em x_1 e x_2. Com base nessas informações, e considerando que TMS seja a taxa marginal de substituição, julgue os itens a seguir.

Texto do item:

Se a renda do consumidor dobrar para r = 160, mantidos constantes p_1 e p_2, o novo consumo ótimo será (x_1, x_2) = (8, 20), preservando-se as proporções consumidas entre os dois bens, de modo a confirmar que as preferências são homotéticas.

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CERTO

Resolução Completa

1. Dados do problema

Parâmetro Valor
Função utilidade U = x_1 \cdot x_2 (Cobb-Douglas)
p_1 10
p_2 4
Renda original r = 80
Nova renda r' = 160

2. Encontrando a demanda ótima genérica

O consumidor racional maximiza utilidade sujeito à restrição orçamentária:

\max \ U = x_1 x_2 \quad \text{s.a.} \quad p_1 x_1 + p_2 x_2 = r

Condição de tangência (TMS = razão de preços):

TMS = \frac{UMg_{x_1}}{UMg_{x_2}} = \frac{x_2}{x_1} = \frac{p_1}{p_2}
\frac{x_2}{x_1} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2} \quad \Longrightarrow \quad x_2 = \frac{5}{2}\,x_1

Substituindo na restrição orçamentária:

10x_1 + 4 \cdot \frac{5}{2}x_1 = r \quad \Longrightarrow \quad 10x_1 + 10x_1 = r \quad \Longrightarrow \quad x_1 = \frac{r}{20}
x_2 = \frac{r}{8}

3. Cesta ótima com r = 80 (caso base)

x_1 = \frac{80}{20} = 4, \qquad x_2 = \frac{80}{8} = 10
\text{Proporção: } \frac{x_1}{x_2} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}

4. Cesta ótima com r = 160 (renda dobrada)

x_1 = \frac{160}{20} = 8, \qquad x_2 = \frac{160}{8} = 20
\text{Proporção: } \frac{x_1}{x_2} = \frac{8}{20} = \frac{2}{5} \quad \checkmark

:white_check_mark: A cesta ótima é de fato (8, 20), exatamente como afirma o enunciado.

5. Sobre as preferências homotéticas

A função U = x_1 x_2 é Cobb-Douglas, que é homogênea de grau 2. Toda função de utilidade que é transformação monotônica de uma função homogênea representa preferências homotéticas (Varian, Microeconomia: Uma Abordagem Moderna, Cap. 6; Mas-Colell, Whinston & Green, Cap. 3).

A principal propriedade das preferências homotéticas é que:

Quando a renda varia (mantidos os preços constantes), o caminho de expansão da renda é uma reta passando pela origem, ou seja, as proporções consumidas entre os bens se mantêm constantes.

É exatamente o que verificamos:

Renda x_1 x_2 x_1 / x_2
80 4 10 2/5
160 8 20 2/5

A renda dobrou e ambas as quantidades exatamente dobraram, preservando a proporção 2/5. Isso confirma o caráter homotético das preferências.

Conclusão

A afirmativa está CERTA em todos os seus aspectos: o cálculo da cesta ótima (8, 20), a manutenção das proporções e a confirmação de que as preferências Cobb-Douglas são homotéticas.

Comentário automático feito pela inteligência artificial do Clipping.ai apenas para referência. Comentários dos nossos professores virão a seguir.