CERTO.
Resolução Completa e Didática
Trata-se de um problema clássico de otimização do consumidor com função utilidade do tipo Cobb-Douglas, muito cobrado no CACD e em provas do CESPE/CEBRASPE.
1. Dados do problema
| Variável |
Valor |
| U(x_1, x_2) = x_1 \cdot x_2 |
Função utilidade |
| p_1 = 10 |
Preço do bem 1 |
| p_2 = 4 |
Preço do bem 2 |
| r = 80 |
Renda |
2. Condição de ótimo: TMS_{12} = \dfrac{p_1}{p_2}
A Taxa Marginal de Substituição mede a taxa à qual o consumidor está disposto a trocar o bem 2 pelo bem 1, mantendo a utilidade constante. Ela é dada por:
TMS_{12} = \frac{UMg_{x_1}}{UMg_{x_2}}
Calculando as utilidades marginais:
UMg_{x_1} = \frac{\partial U}{\partial x_1} = x_2
UMg_{x_2} = \frac{\partial U}{\partial x_2} = x_1
Logo:
TMS_{12} = \frac{x_2}{x_1}
A condição de equilíbrio do consumidor (tangência entre a curva de indiferença e a reta orçamentária) exige:
TMS_{12} = \frac{p_1}{p_2} \implies \frac{x_2}{x_1} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}
Portanto:
\boxed{x_2 = \frac{5}{2}\, x_1}
3. Restrição orçamentária
O consumidor gasta toda a renda:
p_1 x_1 + p_2 x_2 = r
10\,x_1 + 4\,x_2 = 80
Substituindo x_2 = \frac{5}{2} x_1:
10\,x_1 + 4 \cdot \frac{5}{2}\,x_1 = 80
10\,x_1 + 10\,x_1 = 80
20\,x_1 = 80
\boxed{x_1 = 4}
E, consequentemente:
x_2 = \frac{5}{2} \cdot 4 = \boxed{10}
4. Verificação
| Condição |
Cálculo |
Status |
| Restrição orçamentária |
10(4) + 4(10) = 40 + 40 = 80  |
Satisfeita |
| Tangência (TMS = p_1/p_2) |
\frac{10}{4} = \frac{10}{4} = 2{,}5 |
Satisfeita |
| Utilidade |
U = 4 \times 10 = 40 |
Máxima possível |
5. Fundamentação doutrinária
Este resultado decorre diretamente da teoria neoclássica do consumidor, conforme apresentado em:
- Varian, H. R. (Microeconomia: uma abordagem moderna): a cesta ótima para preferências bem-comportadas (completas, transitivas, monótonas e convexas) é encontrada na tangência entre a curva de indiferença e a reta orçamentária, ou seja, onde TMS = p_1/p_2.
- Mas-Colell, Whinston & Green (Microeconomic Theory): para funções Cobb-Douglas U = x_1^a \cdot x_2^b, as demandas ótimas são proporcionais à renda, com cada bem recebendo uma fração da renda proporcional ao seu expoente relativo.
No caso particular U = x_1^1 \cdot x_2^1, os expoentes são iguais, de modo que metade da renda é gasta em cada bem:
p_1 x_1 = \frac{1}{2} r = 40 \implies x_1 = 4
p_2 x_2 = \frac{1}{2} r = 40 \implies x_2 = 10
Conclusão
A afirmativa está CERTA: o consumo ótimo é de fato (x_1; x_2) = (4, 10), obtido na tangência entre a curva de indiferença e a restrição orçamentária, onde TMS_{12} = p_1/p_2 = 5/2.
Comentário automático feito pela inteligência artificial do Clipping.ai apenas para referência. Comentários dos nossos professores virão a seguir.